Вибір читачів
Популярні статті
Основні формули тригонометрії - це формули, що встановлюють зв'язок між основними тригонометричними функціями. Синус, косинус, тангенс та котангенс пов'язані між собою безліччю співвідношень. Нижче наведемо основні тригонометричні формули, а для зручності згрупуємо їх за призначенням. З використанням даних формул можна вирішити практично будь-яке завдання із стандартного курсу тригонометрії. Відразу зазначимо, що нижче наведено самі формули, а чи не їх висновок, якому будуть присвячені окремі статті.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Тригонометричні тотожності дають зв'язок між синусом, косинусом, тангенсом і котангенсом одного кута, дозволяючи висловити одну функцію через іншу.
Тригонометричні тотожності
sin 2 a + cos 2 a = 1 t g α = sin α cos α , c t g α = cos α sin α t g α · c t g α = 1 t g 2 α + 1 = 1 cos 2 α , c t g 2 α + 1 = 1 sin 2 α
Ці тотожності безпосередньо випливають із визначень одиничного кола, синуса (sin), косинуса (cos), тангенсу (tg) та котангенсу (ctg).
Формули приведення дозволяють переходити від роботи з довільними і скільки завгодно великими кутами до роботи з кутами в межах від 0 до 90 градусів.
Формули наведення
sin α + 2 π z = sin α , cos α + 2 π z = cos α t g α + 2 π z = t g α , c t g α + 2 π z = c t g α sin - α + 2 π z = - sin α, cos - α + 2 π z = cos α t g - α + 2 π z = - t g α , c t g - α + 2 π z = - c t g α sin π 2 + α + 2 π z = cos α, cos π 2 + α + 2 π z = - sin α t g π 2 + α + 2 π z = - c t g α , c t g π 2 + α + 2 π z = - t g α sin π 2 - α + 2 π z = cos α, cos π 2 - α + 2 π z = sin α t g π 2 - α + 2 π z = c t g α , c t g π 2 - α + 2 π z = t g α sin π + α + 2 π z = - sin α, cos π + α + 2 π z = - cos α t g π + α + 2 π z = t g α , c t g π + α + 2 π z = c t g α sin π - α + 2 π z = sin α, cos π - α + 2 π z = - cos α t g π - α + 2 π z = - t g α , c t g π - α + 2 π z = - c t g α sin 3 π 2 + α + 2 π z = - cos α, cos 3 π 2 + α + 2 π z = sin α t g 3 π 2 + α + 2 π z = - c t g α , c t g 3 π 2 + α + 2 π z = - t g α sin 3 π 2 - α + 2 π z = - cos α , cos 3 π 2 - α + 2 π z = - sin α t g 3 π 2 - α + 2 π z = c t g α , c t g 3 π 2 - α + 2 π z = t g α
Формули наведення є наслідком періодичності тригонометричних функцій.
Формули додавання в тригонометрії дозволяють виразити тригонометричну функцію суми або різниці кутів через тригонометричні функції цих кутів.
Тригонометричні формули складання
sin α ± β = sin α · cos β ± cos α · sin β cos α + β = cos α · cos β - sin α · sin β cos α - β = cos α · cos β + sin α · sin β t g α ± β = t g α ± t g β 1 ± t g α · t g β c t g α ± β = - 1 ± c t g α · c t g β c t g α ± c t g β
На основі формул додавання виводяться тригонометричні формули кратного кута.
sin 2 α = 2 · sin α · cos α cos 2 α = cos 2 α - sin 2 α , cos 2 α = 1 - 2 sin 2 α , cos 2 α = 2 cos 2 α - 1 t g 2 α = 2 · t g α 1 - t g 2 α з t g 2 α = с t g 2 α - 1 2 · з t g α sin 3 α = 3 sin α · cos 2 α - sin 3 α , sin 3 α = 3 sin α - 4 sin 3 α cos 3 α = cos 3 α - 3 sin 2 α · cos α , cos 3 α = - 3 cos α + 4 cos 3 α t g 3 α = 3 t g α - t g 3 α 1 - 3 t g 2 α c t g 3 α = c t g 3 α - 3 c t g α 3 c t g 2 α - 1
Формули половинного кута тригонометрії є наслідком формул подвійного кута і виражають співвідношення між основними функціями половинного кута і косинусом цілого кута.
Формули половинного кута
sin 2 α 2 = 1 - cos α 2 cos 2 α 2 = 1 + cos α 2 t g 2 α 2 = 1 - cos α 1 + cos α c t g 2 α 2 = 1 + cos α 1 - cos α
sin 2 α = 1 - cos 2 α 2 cos 2 α = 1 + cos 2 α 2 sin 3 α = 3 sin α - sin 3 α 4 cos 3 α = 3 cos α + cos 3 α 4 sin 4 α = 3 - 4 cos 2 α + cos 4 α 8 cos 4 α = 3 + 4 cos 2 α + cos 4 α 8
Часто при розрахунках діяти з громіздкими ступенями незручно. Формули зниження ступеня дозволяють знизити ступінь тригонометричної функції зі скільки завгодно великий до першої. Наведемо їх загальний вигляд:
Загальний вид формул зниження ступеня
для парних n
sin n α = C n 2 n 2 n + 1 2 n - 1 ∑ k = 0 n 2 - 1 (- 1) n 2 - k · C k n · cos ((n - 2 k) α) cos n α = C n 2 n 2 n + 1 2 n - 1 ∑ k = 0 n 2 - 1 C k n · cos ((n - 2 k) α)
для непарних n
sin n α = 1 2 n - 1 ∑ k = 0 n - 1 2 (- 1) n - 1 2 - k · C k n · sin ((n - 2 k) α) cos n α = 1 2 n - 1 ∑ k = 0 n - 1 2 C k n · cos ((n - 2 k) α)
Різницю та суму тригонометричних функцій можна подати у вигляді твору. Розкладання на множники різниць синусів і косінусів дуже зручно застосовувати при вирішенні тригонометричних рівнянь та спрощенні виразів.
Сума та різниця тригонометричних функцій
sin α + sin β = 2 sin α + β 2 · cos α - β 2 sin α - sin β = 2 sin α - β 2 · cos α + β 2 cos α + cos β = 2 cos α + β 2 · cos α - β 2 cos α - cos β = - 2 sin α + β 2 · sin α - β 2 , cos α - cos β = 2 sin α + β 2 · sin β - α 2
Якщо формули суми та різниці функцій дозволяють перейти до їхнього твору, то формули твору тригонометричних функцій здійснюють зворотний перехід - від твору до суми. Розглядаються формули добутку синусів, косінусів та синусу на косинус.
Формули добутку тригонометричних функцій
sin α · sin β = 1 2 · (cos (α - β) - cos (α + β)) cos α · cos β = 1 2 · (cos (α - β) + cos (α + β)) sin α · cos β = 1 2 · (sin (α - β) + sin (α + β))
Всі основні тригонометричні функції – синус, косинус, тангенс та котангенс, – можуть бути виражені через тангенс половинного кута.
Універсальна тригонометрична підстановка
sin α = 2 t g α 2 1 + t g 2 α 2 cos α = 1 - t g 2 α 2 1 + t g 2 α 2 t g α = 2 t g α 2 1 - t g 2 α 2 c t g α = 1 - t g 2 α 2 t g α 2
Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl+Enter
Ви можете замовити докладне вирішення вашої задачі!
Рівність, що містить невідому під знаком тригонометричної функції (`sin x, cos x, tg x` або `ctg x`), називається тригонометричним рівнянням, саме їх формули ми й розглянемо далі.
Найпростішими називаються рівняння `sin x=a, cos x=a, tg x=a, ctg x=a`, де `x` - кут, який потрібно знайти, `a` - будь-яке число. Запишемо для кожного з них формули коріння.
1. Рівняння `sin x=a`.
При `|a|>1` немає рішень.
При `|a| \leq 1` має нескінченну кількість рішень.
Формула коренів: `x=(-1)^n arcsin a + \pi n, n \in Z`
2. Рівняння `cos x=a`
При `|a|>1` — як і у випадку із синусом, рішень серед дійсних чисел не має.
При `|a| \leq 1` має безліч рішень.
Формула коренів: x = p arccos a + 2 pi n, n in Z
Приватні випадки для синуса та косинуса у графіках.
3. Рівняння `tg x=a`
Має безліч рішень при будь-яких значеннях `a`.
Формула коренів: `x=arctg a + \pi n, n \in Z`
4. Рівняння `ctg x=a`
Також має безліч рішень при будь-яких значеннях `a`.
Формула коренів: `x=arcctg a + \pi n, n \in Z`
Для синусу:
Для косинуса:
Для тангенсу та котангенсу:
Формули розв'язання рівнянь, що містять зворотні тригонометричні функції:
Розв'язання будь-якого тригонометричного рівняння складається з двох етапів:
Розглянемо на прикладах основні способи розв'язання.
У цьому вся методі робиться заміна змінної та її підстановка на рівність.
приклад. Розв'язати рівняння: `2cos^2(x+\frac \pi 6)-3sin(\frac \pi 3 - x)+1=0`
`2cos^2(x+frac \pi 6)-3cos(x+frac \pi 6)+1=0`,
робимо заміну: `cos(x+\frac \pi 6)=y`, тоді `2y^2-3y+1=0`,
знаходимо коріння: `y_1=1, y_2=1/2`, звідки випливають два випадки:
1. ` cos (x + frac \ pi 6) = 1 `, ` x + \ frac \ pi 6 = 2 \ pi n `, ` x_1 = - \ frac \ pi 6 +2 \ pi n `.
2. `cos(x+\frac \pi 6)=1/2`, `x+\frac \pi 6=\pm arccos 1/2+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3- \frac \pi 6+2\pi n`.
Відповідь: `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3-frac \pi 6+2\pi n`.
приклад. Розв'язати рівняння: `sin x+cos x=1`.
Рішення. Перенесемо вліво всі члени рівності: `sin x+cos x-1=0`. Використовуючи , перетворимо та розкладемо на множники ліву частину:
`sin x - 2sin^2 x/2=0`,
`2sin x/2 cos x/2-2sin^2 x/2=0`,
`2sin x/2 (cos x/2-sin x/2)=0`,
Відповідь: `x_1=2\pi n`, `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.
Спочатку потрібно це тригонометричне рівняння привести до одного з двох видів:
`a sin x+b cos x=0` (однорідне рівняння першого ступеня) або `a sin^2 x + b sin x cos x +c cos^2 x=0` (однорідне рівняння другого ступеня).
Потім розділити обидві частини на `cos x \ ne 0` - для першого випадку, і на ` cos ^ 2 x \ ne 0` - для другого. Отримаємо рівняння щодо `tg x`: `a tg x+b=0` та `a tg^2 x + b tg x +c =0`, які потрібно вирішити відомими способами.
приклад. Розв'язати рівняння: `2 sin ^ 2 x + sin x cos x - cos ^ 2 x = 1 `.
Рішення. Запишемо праву частину, як `1=sin^2 x+cos^2 x`:
`2 sin^2 x+sin x cos x - cos^2 x=`` sin^2 x+cos^2 x`,
`2 sin^2 x+sin x cos x - cos^2 x - `` sin^2 x - cos^2 x=0`
` sin ^ 2 x + sin x cos x - 2 cos ^ 2 x = 0 `.
Це однорідне тригонометричне рівняння другого ступеня, розділимо його ліву та праву частини на `cos^2 x \ne 0`, отримаємо:
`\frac(sin^2 x)(cos^2 x)+\frac(sin x cos x)(cos^2 x) - \frac(2 cos^2 x)(cos^2 x)=0`
`tg^2 x + tg x - 2 = 0`. Введемо заміну `tg x=t`, в результаті `t^2 + t - 2=0`. Коріння цього рівняння: `t_1=-2` та `t_2=1`. Тоді:
Відповідь. `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z`, `x_2=\pi/4+\pi n`, `n \in Z`.
приклад. Розв'язати рівняння: `11 sin x - 2 cos x = 10`.
Рішення. Застосуємо формули подвійного кута, в результаті: `22 sin (x/2) cos (x/2) - ``2 cos^2 x/2 + 2 sin^2 x/2=``10 sin^2 x/2 +10 cos^2 x/2`
`4 tg^2 x/2 - 11 tg x/2 +6=0`
Застосувавши описаний вище метод алгебри, отримаємо:
Відповідь. `x_1=2 arctg 2+2\pi n, n \in Z`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z`.
У тригонометричному рівнянні `a sin x + b cos x = c`, де a, b, c – коефіцієнти, а x – змінна, розділимо обидві частини на `sqrt (a^2+b^2)`:
`\frac a(sqrt (a^2+b^2)) sin x +` `\frac b(sqrt (a^2+b^2)) cos x =` `frac c(sqrt (a^2 +b^2))`.
Коефіцієнти в лівій частині мають властивості синуса та косинуса, а саме сума їх квадратів дорівнює 1 та їх модулі не більше 1. Позначимо їх наступним чином: `\frac a(sqrt(a^2+b^2))=cos \varphi` , ` \frac b(sqrt (a^2+b^2)) =sin \varphi`, `\frac c(sqrt (a^2+b^2))=C`, тоді:
` cos \ varphi sin x + sin \ varphi cos x = C `.
Докладніше розглянемо на наступному прикладі:
приклад. Розв'язати рівняння: `3 sin x+4 cos x=2`.
Рішення. Розділимо обидві частини рівності на `sqrt (3^2+4^2)`, отримаємо:
`\frac (3 sin x) (sqrt (3^2+4^2))+``\frac(4 cos x)(sqrt (3^2+4^2))=` `frac 2(sqrt (3^2+4^2))`
`3/5 sin x+4/5 cos x=2/5`.
Позначимо `3/5 = cos \ varphi`, `4/5 = sin \ varphi`. Так як ` sin \ varphi> 0 `, ` cos \ varphi> 0 `, то як допоміжний кут візьмемо ` \ varphi = arcsin 4/5 `. Тоді нашу рівність запишемо у вигляді:
`cos \varphi sin x+sin \varphi cos x=2/5`
Застосувавши формулу суми кутів для синуса, запишемо нашу рівність у такому вигляді:
`sin (x+\varphi) = 2/5`,
`x+\varphi=(-1)^n arcsin 2/5+ \pi n`, `n \in Z`,
`x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.
Відповідь. `x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.
Це рівності з дробами, у чисельниках та знаменниках яких є тригонометричні функції.
приклад. Вирішити рівняння. frac (sin x) (1 + cos x) = 1-cos x `.
Рішення. Помножимо та розділимо праву частину рівності на `(1+cos x)`. В результаті отримаємо:
`\frac (sin x)(1+cos x)=``\frac ((1-cos x)(1+cos x))(1+cos x)`
`\frac (sin x)(1+cos x)=``\frac (1-cos^2 x)(1+cos x)`
`\frac (sin x)(1+cos x)=``\frac (sin^2 x)(1+cos x)`
`\frac (sin x)(1+cos x)-``\frac (sin^2 x)(1+cos x)=0`
`\frac (sin x-sin^2 x)(1+cos x)=0`
Враховуючи, що знаменник рівним бути нулю не може, отримаємо `1+cos x \ne 0`, `cos x \ne -1`, ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`.
Прирівняємо до нуля чисельник дробу: `sin x-sin^2 x=0`, `sin x(1-sin x)=0`. Тоді `sin x=0` або `1-sin x=0`.
Враховуючи, що ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`, рішеннями будуть `x=2\pi n, n \in Z` та `x=\pi /2+2\pi n` , `n \ in Z`.
Відповідь. `x=2\pi n`, `n \in Z`, `x=\pi /2+2\pi n`, `n \in Z`.
Тригонометрія та тригонометричні рівняння зокрема застосовуються майже у всіх сферах геометрії, фізики, інженерії. Починається вивчення в 10 класі, обов'язково присутні завдання на ЄДІ, тому постарайтеся запам'ятати всі формули тригонометричних рівнянь - вони вам знадобляться!
Втім, навіть запам'ятовувати їх не потрібно, головне зрозуміти суть і вміти вивести. Це не так складно, як здається. Переконайтеся, переглядаючи відео.
Співвідношення між основними тригонометричними функціями – синусом, косінусом, тангенсом та котангенсом – задаються тригонометричними формулами. Оскільки зв'язків між тригонометричними функціями досить багато, цим пояснюється і розмаїття тригонометричних формул. Одні формули пов'язують тригонометричні функції однакового кута, інші функції кратного кута, треті дозволяють знизити ступінь, четверті виразити всі функції через тангенс половинного кута, і т.д.
У цій статті ми по порядку перерахуємо всі основні тригонометричні формули, яких достатньо для вирішення більшості задач тригонометрії. Для зручності запам'ятовування та використання групуватимемо їх за призначенням і заноситимемо в таблиці.
Навігація на сторінці.
Основні тригонометричні тотожностізадають зв'язок між синусом, косинусом, тангенсом та котангенсом одного кута. Вони випливають із визначення синуса, косинуса, тангенсу та котангенсу, а також поняття одиничного кола. Вони дозволяють виразити одну тригонометричну функцію через будь-яку іншу.
Детальний опис цих формул тригонометрії, їх висновок та приклади застосування дивіться у статті .
Формули наведеннявипливають із властивостей синуса, косинуса, тангенсу і котангенсу, тобто, вони відображають властивість періодичності тригонометричних функцій, властивість симетричності, а також властивість зсуву на даний кут. Ці тригонометричні формули дозволяють від роботи з довільними кутами переходити до роботи з кутами в межах від нуля до 90 градусів.
Обгрунтування цих формул, мнемонічне правило їх запам'ятовування і приклади їх застосування можна вивчити у статті .
Тригонометричні формули складанняпоказують, як тригонометричні функції суми чи різниці двох кутів виражаються через тригонометричні функції цих кутів. Ці формули є базою для виведення наступних нижче тригонометричних формул.
Формули подвійного, потрійного тощо. кута (їх ще називають формулами кратного кута) показують, як тригонометричні функції подвійних, потрійних і т.д. кутів () виражаються через тригонометричні функції одинарного кута. Їх висновок виходить з формулах складання.
Більш детальна інформація зібрана у статті формули подвійного, потрійного тощо. кута.
Формули половинного кутапоказують, як тригонометричні функції половинного кута виражаються через косинус цілого кута. Ці тригонометричні формули випливають із формул подвійного кута.
Їх висновок та приклади застосування можна переглянути у статті.
Тригонометричні формули зниження ступеняпокликані сприяти переходу від натуральних ступенів тригонометричних функцій до синусів і косинусів у першому ступені, але кратних кутів. Іншими словами, вони дозволяють знижувати ступеня тригонометричних функцій до першої.
Основне призначення формул суми та різниці тригонометричних функційполягає у переході до твору функцій, що дуже корисно при спрощенні тригонометричних виразів. Зазначені формули також широко використовуються при вирішенні тригонометричних рівнянь, оскільки дозволяють розкладати на множники суму та різницю синусів і косінусів.
Перехід від твору тригонометричних функцій до суми чи різниці здійснюється за допомогою формул твору синусів, косінусів та синусу на косинус.
Огляд основних формул тригонометрії завершуємо формулами, що виражають тригонометричні функції через тангенс половинного кута. Така заміна отримала назву універсальної тригонометричної підстановки. Її зручність у тому, що це тригонометричні функції виражаються через тангенс половинного кута раціонально без коренів.
Список літератури.
Copyright by cleverstudents
Всі права захищені.
Охороняється законом про авторське право. Жодну частину сайту, включаючи внутрішні матеріали та зовнішнє оформлення, не можна відтворювати у будь-якій формі або використовувати без попереднього письмового дозволу правовласника.
На цій сторінці ви знайдете всі основні тригонометричні формули, які допоможуть вам вирішувати багато вправ, значно спростивши вираз.
Тригонометричні формули - математичні рівності для тригонометричних функцій, які виконуються за всіх допустимих значень аргументу.
Формулами задаються співвідношення між основними тригонометричними функціями – синусом, косінусом, тангенсом, котангенсом.
Синус кута – це координата y точки (ордината) на одиничному колі. Косинус кута – це координата x точки (абсцис).
Тангенс та котангенс – це, відповідно, співвідношення синуса до косінусу і навпаки.
`sin\alpha,\cos\alpha`
`tg \\alpha=\frac(sin\\alpha)(cos\\alpha), `` \alpha\ne\frac\pi2+\pi n, \ n \in Z`
`ctg \\alpha=\frac(cos\\alpha)(sin\\alpha), `` \alpha\ne\pi+\pi n, \ n \in Z`
І дві, що використовуються рідше – секанс, косеканс. Вони позначають співвідношення 1 до косинусу та синусу.
`sec \\alpha=\frac(1)(cos\\alpha),`` \alpha\ne\frac\pi2+\pi n,\n \in Z`
` cosec \ \ alpha = \ frac (1) (sin \ \ alpha), `` \ alpha \ ne \ pi + \ pi n, \ n \ in Z `
З визначень тригонометричних функцій видно, які знаки вони мають у кожній чверті. Знак функції залежить тільки від того, у якій із чвертей розташовується аргумент.
При зміні символу аргументу з "+" на "-" тільки функція косинус не змінює свого значення. Вона називається парною. Її графік симетричний щодо осі ординат.
Інші функції (синус, тангенс, котангенс) непарні. При зміні символу аргументу з «+» на «-» їх значення також змінюється негативне. Їхні графіки симетричні щодо початку координат.
`sin(-\alpha)=-sin \\alpha`
`cos(-\alpha)=cos \\alpha`
`tg(-\alpha)=-tg \\alpha`
`ctg(-\alpha)=-ctg \\alpha`
Основні тригонометричні тотожності - це формули, що встановлюють зв'язок між тригонометричними функціями одного кута (`sin \ alpha, \ cos \ \ alpha, \ tg \ alpha, \ ctg \ \ alpha`) і які дозволяють знаходити значення кожної з цих функцій через будь-яку відому іншу.
`sin^2 \alpha+cos^2 \alpha=1`
`tg \ \alpha \cdot ctg \ \alpha=1, \ \alpha\ne\frac(\pi n) 2, \ n \in Z`
`1+tg^2 \alpha=\frac 1(cos^2 \alpha)=sec^2 \alpha, `` \alpha\ne\frac\pi2+\pi n, \ n \in Z`
`1+ctg^2 \alpha=\frac 1(sin^2 \alpha)=cosec^2 \alpha, `` \alpha\ne\pi n, \ n \in Z`
Формули складання та віднімання аргументів виражають тригонометричні функції суми або різниці двох кутів через тригонометричні функції цих кутів.
`sin(\alpha+\beta)=` `sin \ \alpha\ cos \ \beta+cos \ \alpha\ sin \ beta`
` sin ( \ alpha - \ beta ) = `` sin \ \ alpha \ cos \ \ beta - cos \ \ alpha \ sin \ \ beta `
`cos(\alpha+\beta)=` `cos \ \alpha\ cos \ \beta-sin \ \alpha\ sin \ \beta`
`cos(\alpha-\beta)=` `cos \ \alpha\ cos \ \beta+sin \ alpha\ sin \ beta`
`tg(\alpha+\beta)=\frac(tg \ \alpha+tg \ \beta)(1-tg \ \alpha\ tg \ \beta)`
`tg(\alpha-\beta)=\frac(tg \ \alpha-tg \ \beta)(1+tg \ \alpha \ tg \ \beta)`
`ctg(\alpha+\beta)=\frac(ctg \ \alpha \ ctg \ \beta-1)(ctg \ \beta+ctg \ \alpha)`
`ctg(\alpha-\beta)=\frac(ctg \ \alpha\ ctg \ \beta+1)(ctg \ \beta-ctg \ \alpha)`
` sin \ 2 \ alpha = 2 \ sin \ \ alpha \ cos \ \ alpha = `` frac (2 \ tg \ \ alpha) (1 + tg ^ 2 \ alpha) = \ frac (2 \ ctg \ \ alpha )(1+ctg^2 \alpha)=` `\frac 2(tg \ \alpha+ctg \ \alpha)`
`cos \ 2\alpha=cos^2 \alpha-sin^2 \alpha=``1-2 \ sin^2 \alpha=2 \ cos^2 \alpha-1=` `frac(1-tg^ 2\alpha)(1+tg^2\alpha)=\frac(ctg^2\alpha-1)(ctg^2\alpha+1)=` `frac(ctg \ alpha-tg \ alpha) (ctg \ alpha + tg \ alpha)`
`tg \ 2\alpha=\frac(2 \ tg \ \alpha)(1-tg^2 \alpha)=``\frac(2 \ ctg \ \alpha)(ctg^2 \alpha-1)=` `\frac 2( \ ctg \ \alpha-tg \ \alpha)`
`ctg \ 2\alpha=\frac(ctg^2 \alpha-1)(2 \ ctg \ \alpha)=``\frac ( \ ctg \ \alpha-tg \ \alpha)2`
`sin \ 3\alpha=3 \ sin \ \alpha-4sin^3 \alpha`
` cos \ 3 \ alpha = 4 cos ^ 3 \ alpha-3 \ cos \ \ alpha `
`tg \ 3\alpha=\frac(3 \ tg \ \alpha-tg^3 \alpha)(1-3 \ tg^2 \alpha)`
`ctg \ 3\alpha=\frac(ctg^3 \alpha-3 \ ctg \ \alpha)(3 \ ctg^2 \alpha-1)`
`sin \ \frac \alpha 2=\pm \sqrt(\frac (1-cos \ \alpha)2)`
`cos \ \frac \alpha 2=\pm \sqrt(\frac (1+cos \ \alpha)2)`
`tg \ frac \alpha 2=\pm \sqrt(\frac (1-cos \ alpha)(1+cos \ alpha))=` `frac (sin \ alpha)(1+cos \ \ alpha)=\frac (1-cos \ alpha)(sin \ alpha)`
`ctg \ \frac \alpha 2=\pm \sqrt(\frac (1+cos \ \alpha)(1-cos \ \alpha))=``\frac (sin \ \alpha)(1-cos \ \ alpha) = frac (1 + cos \ alpha) (sin \ alpha)`
Формули половинних, подвійних і потрійних аргументів виражають функції `sin, \ cos, \ tg, \ ctg` цих аргументів (`\frac(\alpha)2, \ 2\alpha, \ 3\alpha, ... ') через ці ж функції аргументу `\ alpha`.
Висновок їх можна отримати з попередньої групи (складання та віднімання аргументів). Наприклад, тотожності подвійного кута легко отримати, замінивши `beta` на `alpha`.
Формули квадратів (кубів і т. д.) тригонометричних функцій дозволяють перейти від 2,3, ... ступеня до тригонометричних функцій першого ступеня, але кратних кутів (`\alpha, \ 3\alpha, \ ...' або `2\alpha, \ 4 \ alpha, \ ... `).
`sin^2 \alpha=\frac(1-cos \ 2\alpha)2,`` (sin^2 \frac \alpha 2=\frac(1-cos \ \alpha)2)`
`cos^2 \alpha=\frac(1+cos \ 2\alpha)2,`` (cos^2 \frac \alpha 2=\frac(1+cos \ alpha)2)`
`sin^3 \alpha=\frac(3sin \ \alpha-sin \ 3\alpha)4`
`cos^3 \alpha=\frac(3cos \ \alpha+cos \ 3\alpha)4`
`sin^4 \alpha=\frac(3-4cos \ 2\alpha+cos \ 4\alpha)8`
`cos^4 \alpha=\frac(3+4cos \ 2\alpha+cos \ 4\alpha)8`
Формули являють собою перетворення суми та різниці тригонометричних функцій різних аргументів на твір.
`sin \ \alpha+sin \ \beta=` `2 \ sin \frac(\alpha+\beta)2 \ cos \frac(\alpha-\beta)2`
`sin \ \alpha-sin \ \beta=` `2 \ cos \frac(\alpha+\beta)2 \ sin \frac(\alpha-\beta)2`
` cos \ \ alpha + cos \ \ beta = `` 2 \ cos \ frac ( \ alpha + \ beta ) 2 \ cos \ frac ( \ alpha - beta )2 `
`cos \ \alpha-cos \ \beta=` `-2 \ sin \frac(\alpha+\beta)2 \ sin \frac(\alpha-\beta)2=` `2 \ sin \frac(\alpha+\) beta)2 \ sin \frac(\beta-\alpha)2`
`tg \ \alpha \pm tg \ \beta=\frac(sin(\alpha \pm \beta))(cos \ \alpha \ cos \ \beta)`
`ctg \ \alpha \pm ctg \ \beta=\frac(sin(\beta \pm \alpha))(sin \ \alpha \ sin \ \beta)`
`tg \ \alpha \pm ctg \ \beta=``\pm \frac(cos(\alpha \mp \beta))(cos \ \alpha \ sin \ beta)`
Тут відбувається перетворення додавання та віднімань функцій одного аргументу на твір.
` cos \ \ alpha + sin \ \ alpha = \ sqrt (2) \ cos ( \ frac ( \ pi) 4- \ alpha)`
`cos \ \alpha-sin \ \alpha=\sqrt(2) \ sin (\frac(\pi)4-\alpha)`
`tg \ alpha+ctg \ \ alpha = 2 \ cosec \ 2 \ alpha; `` tg \ \ alpha-ctg \ \ alpha = -2 \ ctg \ 2 \ alpha
Наступні формули перетворюють суму та різницю одиниці та тригонометричної функції у добуток.
`1 + cos \ \ alpha = 2 \ cos ^ 2 \ frac ( \ alpha) 2 `
`1-cos \\alpha=2\sin^2\frac(\alpha)2`
`1 + sin \ \ alpha = 2 \ cos ^ 2 (\ frac (\ pi) 4-\ frac ( \ alpha) 2) `
`1-sin \ alpha=2 \ sin^2 (\frac (\pi) 4-\frac(\alpha)2)`
`1 \pm tg \ \alpha=\frac(sin(\frac(\pi)4 \pm \alpha))(cos \frac(\pi)4 \ cos \ \alpha)=` `\frac(\sqrt (2) sin(\frac(\pi)4 \pm \alpha))(cos \ \alpha)`
`1 \pm tg \ alpha \ tg \ \ beta = \ frac (cos (\ alpha \ mp \ beta)) (cos \ \ alpha \ cos \ \ beta); `` \ ctg \ \ alpha \ ctg \ \ beta \pm 1=\frac(cos(\alpha \mp \beta))(sin \ \alpha \ sin \ \beta)`
Формули перетворення твору тригонометричних функцій з аргументами '\alpha' і '\beta' на суму (різницю) цих аргументів.
`sin \ \ alpha \ sin \ \ beta = `` \frac(cos(\alpha - \beta)-cos(\alpha + \beta))(2)`
`sin\alpha \ cos\beta =` `\frac(sin(\alpha - \beta)+sin(\alpha + \beta))(2)`
` cos \ \ alpha \ cos \ \ beta =` `\frac(cos(\alpha - \beta)+cos(\alpha + \beta))(2)`
`tg \ \ alpha \ tg \ \ beta = `` frac (cos ( \ alpha - \ beta) - cos ( \ alpha + \ beta)) ( cos ( \ alpha - \ beta) + cos ( \ alpha + \ beta)) = ``\frac(tg\alpha + tg\beta)(ctg\alpha + ctg\beta)`
`ctg \ \alpha \ ctg \ \beta =` `frac(cos(\alpha - \beta) + cos(\alpha + \beta)) (cos(\alpha - \beta)-cos(\alpha + \ beta)) = ``frac(ctg\alpha + ctg\beta)(tg\alpha+tg\beta)`
`tg \ \alpha \ ctg \ \beta =` `frac(sin(\alpha - \beta) + sin(\alpha + \beta)) (sin(\alpha + \beta)-sin(\alpha - \ beta))`
Ці формули виражають тригонометричні функції через тангенс половинного кута.
`sin \ \alpha= \frac(2tg\frac(\alpha)(2))(1 + tg^(2)\frac(\alpha)(2)), `` \alpha\ne \pi +2\ pi n, n \in Z`
`cos \ \ alpha = \ frac (1 - tg ^ (2) \ frac (\ alpha) (2)) (1 + tg ^ (2) \ frac (\ alpha) (2)), `` \ alpha \ ne \pi +2\pi n, n \in Z`
`tg \ \ alpha = \ frac (2tg \ frac (\ alpha) (2)) (1 - tg ^ (2) \ frac (\ alpha) (2)), `` \ alpha \ ne \ pi +2 \ pi n, n \in Z, `` \alpha \ne \frac(\pi)(2)+ \pi n, n \in Z`
`ctg \ \alpha = \frac(1 - tg^(2)\frac(\alpha)(2))(2tg\frac(\alpha)(2)), `` \alpha \ne \pi n, n \in Z, ``\alpha \ne \pi + 2\pi n, n \in Z`
Формули приведення можна одержати, використовуючи такі властивості тригонометричних функцій, як періодичність, симетричність, властивість зсуву даний кут. Вони дозволяють функції довільного кута перетворити на функції, кут яких знаходиться в межі між 0 і 90 градусами.
Для кута (`\frac (\pi)2 \pm \alpha`) або (`90^\circ \pm \alpha`):
`sin(\frac (\pi)2 - \alpha) = cos \ \ alpha; `` sin (\frac (\pi)2 + \alpha) = cos \ \ alpha`
`cos(\frac(\pi)2 - \alpha)=sin \\alpha;``cos(\frac(\pi)2 + \alpha)=-sin \\alpha`
`tg(\frac(\pi)2 - \alpha) = ctg \\alpha;``tg(\frac(\pi)2 + \alpha)=-ctg \\alpha`
`ctg(\frac(\pi)2 - \alpha)=tg \\alpha;``ctg(\frac(\pi)2 + \alpha)=-tg \\alpha`
Для кута (`\pi \pm \alpha`) або (`180^\circ \pm \alpha`):
` sin (\pi - \ alpha) = sin \ \ alpha; `` sin (\pi + \ alpha) = - sin \ \ alpha`
`cos(\pi - \alpha)=-cos \\alpha;``cos(\pi + \alpha)=-cos \\alpha`
`tg(\pi - \alpha)=-tg \ \alpha;`` tg(\pi + \alpha)=tg \ \alpha`
`ctg(\pi - \alpha) = -ctg \ \alpha;`` ctg(\pi + \alpha) = ctg \ \alpha`
Для кута (`\frac (3\pi)2 \pm \alpha`) або (`270^\circ \pm \alpha`):
`sin(\frac(3\pi)2 - \alpha)=-cos \\alpha;``sin(\frac(3\pi)2 + \alpha)=-cos\alpha`
`cos(\frac(3\pi)2 - \alpha)=-sin \\alpha;``cos(\frac(3\pi)2 + \alpha)=sin \\alpha`
`tg(\frac(3\pi)2 - \alpha)=ctg \\alpha;``tg(\frac(3\pi)2 + \alpha)=-ctg \\alpha`
`ctg(\frac(3\pi)2 - \alpha) = tg \\alpha;`` ctg(\frac(3\pi)2 + \alpha)=-tg \\alpha`
Для кута (`2\pi \pm \alpha`) або (`360^\circ \pm \alpha`):
` sin (2 \ pi - \ alpha) = - sin \ \ alpha; `` sin (2 \ pi + \ alpha) = sin \ \ alpha`
` cos (2 \ pi - \ alpha) = cos \ \ alpha; `` cos (2 \ pi + \ alpha) = cos \ \ alpha`
`tg(2\pi - \alpha)=-tg \ \alpha;`` tg(2\pi + \alpha)=tg \ \alpha`
`ctg(2\pi - \alpha) = -ctg \ \ alpha; `` ctg (2 \ pi + \ alpha) = ctg \ \ alpha `
`sin \ \alpha=\pm \sqrt(1-cos^2 \alpha)=` `\frac(tg \ \alpha)(\pm \sqrt(1+tg^2 \alpha))=\frac 1( \pm \sqrt(1+ctg^2 \alpha))`
`cos \ \alpha=\pm \sqrt(1-sin^2 \alpha)=` `\frac 1(\pm \sqrt(1+tg^2 \alpha))=\frac (ctg \ \alpha)( \pm \sqrt(1+ctg^2 \alpha))`
`tg \ \alpha=\frac (sin \ \alpha)(\pm \sqrt(1-sin^2 \alpha))=``\frac (\pm \sqrt(1-cos^2 \alpha))( cos \ \ alpha) = \ frac 1 (ctg \ \ alpha)`
`ctg \ \alpha=\frac (\pm \sqrt(1-sin^2 \alpha))(sin \ \alpha)=` `frac (cos \ \alpha)(\pm \sqrt(1-cos^ 2 \alpha))=\frac 1(tg \ \alpha)`
Тригонометрія буквально перекладається, як «вимір трикутників». Вона починає вивчатися ще у школі, і продовжується більш детально у ВНЗ. Тому основні формули тригонометрії потрібні, починаючи ще з 10 класу, а також для здачі ЄДІ. Вони позначають зв'язки між функціями, а оскільки цих зв'язків багато, то самих формул є чимало. Запам'ятати їх все нелегко, та й не треба – за необхідності їх можна вивести.
Тригонометричні формули застосовуються в інтегральному обчисленні, а також при тригонометричних спрощеннях, обчисленнях, перетвореннях.
Статті на тему: | |
аналіз оди державина фелица
Ода «Феліца» була написана в 1782 році, відноситься до раннього періоду. Тригонометричні тотожності та перетворення
Основні формули тригонометрії - це формули, що встановлюють зв'язки. Уві сні йшла проти сильної течії
Уві сні вам загрожувала небезпека? Але всупереч аргументам розуму, ви просто... |