За допомогою цієї математичної програми ви можете вирішити квадратне рівняння.

Програма не тільки дає відповідь завдання, але і відображає процес вирішення двома способами:
- за допомогою дискримінанту
- за допомогою теореми Вієта (якщо можливо).

Причому, відповідь виводиться точний, а не наближений.
Наприклад, для рівняння \ (81x ^ 2-16x-1 = 0 \) відповідь виводиться в такій формі:

$$ x_1 = \ frac (8 + \ sqrt (145)) (81), \ quad x_2 = \ frac (8- \ sqrt (145)) (81) $$ а не в такій: \ (x_1 = 0,247; \ quad x_2 = -0,05 \)

Дана програма може бути корисна учням старших класів загальноосвітніх шкіл при підготовці до контрольних робіт та іспитів, під час перевірки знань перед ЄДІ, батькам для контролю вирішення багатьох завдань з математики та алгебри. А може бути вам дуже накладно наймати репетитора або купувати нові підручники? Або ви просто хочете якомога швидше зробити домашнє завдання з математики або алгебрі? В цьому випадку ви також можете скористатися нашими програмами з докладним рішенням.

Таким чином ви можете проводити своє власне навчання і / або навчання своїх молодших братів або сестер, при цьому рівень освіти в області вирішуваних завдань підвищується.

Якщо ви не знайомі з правилами введення квадратного многочлена, рекомендуємо з ними ознайомитися.

Правила введення квадратного многочлена

В якості змінної може виступати будь-яка латінс буква.
Наприклад: \ (x, y, z, a, b, c, o, p, q \) і т.д.

Числа можна вводити цілі або дробові.
Причому, дробові числа можна вводити не тільки у вигляді десяткового, а й у вигляді звичайного дробу.

Правила введення десяткових дробів.
У десяткових дробах дрібна частина від цілої може відділятися як точкою так і коми.
Наприклад, можна вводити десяткові дроби так: 2.5x - 3,5x ^ 2

Правила введення звичайних дробів.
В як чисельник, знаменник і цілої частини дробу може виступати тільки ціле число.

Знаменник не може бути негативним.

При введенні числовий дробу чисельник відділяється від знаменника знаком ділення: /
Ціла частина відділяється від дробу знаком амперсанд: &
Введення: 3 & 1/3 - 5 & 6 / 5z + 1 / 7z ^ 2
Результат: \ (3 \ frac (1) (3) - 5 \ frac (6) (5) z + \ frac (1) (7) z ^ 2 \)

При введенні виразу можна використовувати дужки. В цьому випадку при вирішенні квадратного рівняння введене вираз спочатку спрощується.
Наприклад: 1/2 (y-1) (y + 1) - (5y-10 & 1/2)

вирішити

Виявлено що ні завантажилися деякі скрипти, необхідні для вирішення цього завдання, і програма може не працювати.
Можливо у вас включений AdBlock.
У цьому випадку вимкніть його та оновити сторінку.

У вас в браузері відключено виконання JavaScript.
Щоб рішення з'явилося потрібно включити JavaScript.
Ось інструкції, як включити JavaScript у вашому браузері.

Оскільки бажаючих вирішити задачу дуже багато, ваш запит поставлений в чергу.
Через кілька секунд рішення з'явиться нижче.
Будь ласка зачекайте сек ...

Якщо ви помітили помилку в рішенні, То про це ви можете написати в Формі зворотного зв'язку.
Не забудьте вказати яке завданняви вирішуєте і що вводите в поля.

Наші ігри, головоломки, емулятори:

Трохи теорії.

Квадратне рівняння і його корені. Неповні квадратні рівняння

Кожне з рівнянь
\ (- x ^ 2 + 6x + 1,4 = 0, \ quad 8x ^ 2-7x = 0, \ quad x ^ 2 \ frac (4) (9) = 0 \)
має вигляд
\ (Ax ^ 2 + bx + c = 0, \)
де x - змінна, a, b і c - числа.
У першому рівнянні a = -1, b = 6 і c = 1,4, у другому a = 8, b = -7 і c = 0, в третьому a = 1, b = 0 і c = 4/9. Такі рівняння називають квадратними рівняннями.

Визначення.
квадратним рівняннямназивається рівняння виду ax 2 + bx + c = 0, де x - змінна, a, b і c - деякі числа, причому \ (a \ neq 0 \).

Числа a, b і c - коефіцієнти квадратного рівняння. Число a називають першим коефіцієнтом, число b - другим коефіцієнтом і число c - вільним членом.

У кожному з рівнянь виду ax 2 + bx + c = 0, де \ (a \ neq 0 \), найбільша ступінь змінної x - квадрат. Звідси і назва: квадратне рівняння.

Зауважимо, що квадратне рівняння називають ще рівнянням другого ступеня, так як його ліва частина є многочлен другого ступеня.

Квадратне рівняння, в якому коефіцієнт при x 2 дорівнює 1, називають наведеними квадратним рівнянням. Наприклад, наведеними квадратними рівняннями є рівняння
\ (X ^ 2-11x + 30 = 0, \ quad x ^ 2-6x = 0, \ quad x ^ 2-8 = 0 \)

Якщо в квадратному рівнянні ax 2 + bx + c = 0 хоча б один з коефіцієнтів b або c дорівнює нулю, то таке рівняння називають неповним квадратним рівнянням. Так, рівняння -2x 2 + 7 = 0, 3x 2 -10x = 0, -4x 2 = 0 - неповні квадратні рівняння. У першому з них b = 0, у другому c = 0, в третьому b = 0 і c = 0.

Неповні квадратні рівняння бувають трьох видів:
1) ax 2 + c = 0, де \ (c \ neq 0 \);
2) ax 2 + bx = 0, де \ (b \ neq 0 \);
3) ax 2 = 0.

Розглянемо рішення рівнянь кожного з цих видів.

Для вирішення неповного квадратного рівняння виду ax 2 + c = 0 при \ (c \ neq 0 \) переносять його вільний член в праву частину і ділять обидві частини рівняння на a:
\ (X ^ 2 = - \ frac (c) (a) \ Rightarrow x_ (1,2) = \ pm \ sqrt (- \ frac (c) (a)) \)

Так як \ (c \ neq 0 \), то \ (- \ frac (c) (a) \ neq 0 \)

Якщо \ (- \ frac (c) (a)> 0 \), то рівняння має два кореня.

Якщо \ (- \ frac (c) (a) Для вирішення неповного квадратного рівняння виду ax 2 + bx = 0 при \ (b \ neq 0 \) розкладають його ліву частину на множники і отримують рівняння
\ (X (ax + b) = 0 \ Rightarrow \ left \ (\ begin (array) (l) x = 0 \\ ax + b = 0 \ end (array) \ right. \ Rightarrow \ left \ (\ begin (array) (l) x = 0 \\ x = - \ frac (b) (a) \ end (array) \ right. \)

Значить, неповне квадратне рівняння виду ax 2 + bx = 0 при \ (b \ neq 0 \) завжди має два кореня.

Неповне квадратне рівняння виду ax 2 = 0 рівносильне рівнянню x 2 = 0 і тому має єдиний корінь 0.

Формула коренів квадратного рівняння

Розглянемо тепер, як вирішують квадратні рівняння, в яких обидва коефіцієнта при невідомих і вільний член відмінні від нуля.

Вирішимо квадратне рівняння в загальному вигляді і в результаті отримаємо формулу коренів. Потім цю формулу можна буде застосовувати при вирішенні будь-якого квадратного рівняння.

Вирішимо квадратне рівняння ax 2 + bx + c = 0

Розділивши обидві його частини на a, одержимо рівносильне йому наведене квадратне рівняння
\ (X ^ 2 + \ frac (b) (a) x + \ frac (c) (a) = 0 \)

Перетворимо це рівняння, виділивши квадрат двочлена:
\ (X ^ 2 + 2x \ cdot \ frac (b) (2a) + \ left (\ frac (b) (2a) \ right) ^ 2 \ left (\ frac (b) (2a) \ right) ^ 2 + \ frac (c) (a) = 0 \ Rightarrow \)

\ (X ^ 2 + 2x \ cdot \ frac (b) (2a) + \ left (\ frac (b) (2a) \ right) ^ 2 = \ left (\ frac (b) (2a) \ right) ^ 2 - \ frac (c) (a) \ Rightarrow \) \ (\ left (x + \ frac (b) (2a) \ right) ^ 2 = \ frac (b ^ 2) (4a ^ 2) - \ frac ( c) (a) \ Rightarrow \ left (x + \ frac (b) (2a) \ right) ^ 2 = \ frac (b ^ 2-4ac) (4a ^ 2) \ Rightarrow \) \ (x + \ frac (b ) (2a) = \ pm \ sqrt (\ frac (b ^ 2-4ac) (4a ^ 2)) \ Rightarrow x = - \ frac (b) (2a) + \ frac (\ pm \ sqrt (b ^ 2 -4ac)) (2a) \ Rightarrow \) \ (x = \ frac (-b \ pm \ sqrt (b ^ 2-4ac)) (2a) \)

Подкоренное вираз називають дискримінантом квадратного рівняння ax 2 + bx + c = 0 ( «дискриминант» по латині - различитель). Його позначають буквою D, тобто
\ (D = b ^ 2-4ac \)

Тепер, використовуючи позначення дискримінанту, перепишемо формулу для коренів квадратного рівняння:
\ (X_ (1,2) = \ frac (-b \ pm \ sqrt (D)) (2a) \), де \ (D = b ^ 2-4ac \)

Очевидно, що:
1) Якщо D> 0, то квадратне рівняння має два кореня.
2) Якщо D = 0, то квадратне рівняння має один корінь \ (x = - \ frac (b) (2a) \).
3) Якщо D Таким чином, в залежності від значення дискриминанта квадратне рівняння може мати два кореня (при D> 0), один корінь (при D = 0) або не мати коренів (при D При вирішенні квадратного рівняння по даній формулі доцільно поступати таким чином:
1) обчислити дискримінант і порівняти його з нулем;
2) якщо дискримінант позитивний або дорівнює нулю, то скористатися формулою коренів, якщо дискримінант від'ємний, то записати, що коріння немає.

теорема Вієта

Наведене квадратне рівняння ax 2 -7x + 10 = 0 має корені 2 і 5. Сума коренів дорівнює 7, а добуток дорівнює 10. Ми бачимо, що сума коренів дорівнює другому коефіцієнту, взятому з протилежним знаком, а твір коренів одно вільному члену. Таку властивість має будь наведене квадратне рівняння, має коріння.

Сума коренів наведеного квадратного рівняння дорівнює другому коефіцієнту, взятому з протилежним знаком, а твір коренів одно вільному члену.

Тобто теорема Вієта стверджує, що коріння x 1 і x 2 наведеного квадратного рівняння x 2 + px + q = 0 мають властивість:
\ (\ Left \ (\ begin (array) (l) x_1 + x_2 = -p \\ x_1 \ cdot x_2 = q \ end (array) \ right. \)

Квадратні рівняння часто з'являються під час вирішення різних завдань фізики і математики. У даній статті ми розглянемо, як вирішувати ці рівності універсальним способом "через дискримінант". Приклади використання отриманих знань можуть бути дані й у статті.

Про які рівняннях піде мова?

На малюнку нижче зображено формула, в якій x - невідома змінна, а латинські символи a, b, c є деякі відомі числа.

Кожен з цих символів називається коефіцієнтом. Як можна помітити, число "a" стоїть перед змінної x, яка була зведена в квадрат. Це максимальний ступінь представленого вираження, тому воно називається квадратним рівнянням. Часто використовують інша його назва: рівняння другого порядку. Саме значення a - це квадратний коефіцієнт (що стоїть при змінної в квадраті), b - це лінійний коефіцієнт (він знаходиться поруч зі змінною, яка була зведена в першу ступінь), нарешті, число c - вільний член.

Відзначимо, що вид рівняння, який зображений на малюнку вище, є загальним класичним квадратним виразом. Крім нього існують інші рівняння другого порядку, в яких коефіцієнти b, c можуть бути нульовими.

Коли ставлять завдання вирішити дане рівність, то це означає, що такі значення змінної x потрібно знайти, які б йому задовольняли. Тут насамперед потрібно запам'ятати наступну річ: оскільки максимальний ступінь ікси - це 2, то даний тип виразів не може мати більше, ніж 2 рішення. Це означає, що якщо при вирішенні рівняння були знайдені 2 значення x, які йому задовольняють, то можна бути впевненим, що не існує ніякого 3-го числа, підставляючи яке замість x, рівність також би було істиною. Рішення рівняння в математиці називають його корінням.

Способи вирішення рівнянь другого порядку

Рішення рівнянь цього типу вимагає знання деякої теорії про них. У шкільному курсі алгебри розглядають 4 різних методи вирішення. Перерахуємо їх:

• за допомогою факторизації;
• використовуючи формулу для повного квадрата;
• застосовуючи графік відповідної квадратичної функції;
• використовуючи рівняння дискримінанту.

Плюс першого методу полягає в його простоті, однак, він не для всіх рівнянь може застосовуватися. Другий спосіб є універсальним, проте кілька громіздким. Третій метод відрізняється своєю наочністю, але він не завжди зручний і застосуємо. І, нарешті, використання рівняння дискримінанту - це універсальний і досить простий спосіб знаходження коренів абсолютно будь-якого рівняння другого порядку. Тому в статті розглянемо тільки його.

Формула для отримання коренів рівняння

Звернемося до загального вигляду квадратного рівняння. Запишемо його: a * x² + b * x + c = 0. Перед тим як користуватися способом його вирішення "через дискримінант", слід приводити рівність завжди до записаного увазі. Тобто вона має складатися з трьох доданків (або менше, якщо b або c дорівнює 0).

Наприклад, якщо є вираз: x²-9 * x + 8 = 5 * x + 7 * x², то спочатку слід перенести всі його члени в одну сторону рівності і скласти складові, що містять змінну x в однакових ступенях.

В даному випадку ця операція призведе до наступного виразу: -6 * x²-4 * x + 8 = 0, яке еквівалентно рівнянню 6 * x² + 4 * x-8 = 0 (тут ліву і праву частини рівності ми помножили на -1) .

В наведеному вище прикладі a = 6, b = 4, c = -8. Зауважимо, що всі члени даного рівності завжди сумуються між собою, тому якщо з'являється знак "-", то це означає, що негативним є відповідний коефіцієнт, як число c в даному випадку.

Розібравши цей момент, перейдемо тепер до самій формулі, яка дає можливість отримання коренів квадратного рівняння. Вона має вигляд, який представлений на фото нижче.

Як видно з цього виразу, воно дозволяє отримувати два кореня (слід звернути увагу на знак "±"). Для цього в нього досить підставити коефіцієнти b, c, і a.

Поняття про дискримінант

У попередньому пункті була приведена формула, яка дозволяє швидко вирішити будь-яке рівняння другого порядку. У ній подкоренное вираз називають дискримінантом, тобто D = b²-4 * a * c.

Чому цю частину формули виділяють, і вона навіть має власну назву? Справа в тому, що дискримінант пов'язує в єдине вираження все три коефіцієнта рівняння. Останній факт означає, що він повністю несе інформацію про коріння, яку можна виразити таким списком:

1. D> 0: рівність має 2 різних рішення, причому обидва вони представляють собою дійсні числа.
2. D<0: также получаются два корня, но оба они комплексные. Этот тип выражений научились решать только в эпоху Возрождения, когда математиками нового времени было введено понятие "мнимая единица".
3. D = 0: у рівняння всього один корінь, і він є дійсним числом.

Завдання на визначення дискримінанту

Наведемо простий приклад, як знайти дискримінант. Нехай дано таке рівність: 2 * x² - 4 + 5 * x-9 * x² = 3 * x-5 * x² + 7.

Наведемо його до стандартного вигляду, отримуємо: (2 * x²-9 * x² + 5 * x²) + (5 * x-3 * x) + (- 4-7) = 0, звідки приходимо до рівності: -2 * x² + 2 * x-11 = 0. Тут a = -2, b = 2, c = -11.

Тепер можна скористатися названої формулою для дискримінанту: D = 2² - 4 * (- 2) * (- 11) = -84. Отримане число є відповіддю на поставлене завдання. Оскільки в прикладі дискриминант менше нуля, то можна сказати, що дане квадратне рівняння не має дійсних коренів. Його рішенням будуть тільки числа комплексного типу.

Приклад нерівності через дискримінант

Вирішимо завдання дещо іншого типу: дано рівність -3 * x²-6 * x + c = 0. Необхідно знайти такі значення c, для яких D> 0.

В даному випадку відомо лише 2 з 3 коефіцієнтів, тому розрахувати точне значення дискримінанту не вийде, проте відомо, що він є позитивним. Останній факт використовуємо при складанні нерівності: D = (-6) ²-4 * (- 3) * c> 0 => 36 + 12 * c> 0. Рішення отриманого нерівності призводить до результату: c> -3.

Перевіримо отримане число. Для цього обчислимо D для 2 випадків: c = -2 і c = -4. Число -2 задовольняє отриманого результату (-2> -3), відповідний дискриминант матиме значення: D = 12> 0. У свою чергу, число -4 не задовольняє нерівності (-4<-3), вычисляем дискриминант: D = -12<0, что противоречит условию задачи.

Таким чином, будь-які числа c, які більше -3, будуть задовольняти умові.

Приклад рішення рівняння

Наведемо завдання, яка полягає не тільки в знаходженні дискримінанту, але і в рішенні рівняння. Необхідно знайти коріння для рівності -2 * x² + 7-9 * x = 0.

У цьому прикладі дискриминант дорівнює наступного значенням: D = 81-4 * (- 2) * 7 = 137. Тоді корені рівняння визначаться так: x = (9 ± √137) / (- 4). Це точні значення коренів, якщо обчислити наближено корінь, тоді вийдуть числа: x = -5,176 і x = 0,676.

геометрична задача

Вирішимо задачу, яка вимагає не тільки вміння обчислювати дискримінант, але і застосування навичок абстрактного мислення і знання, як складати квадратні рівняння.

У Боба було пухова ковдра розміром 5 x 4 метри. Хлопчик захотів пришити до нього по всьому периметру суцільну смугу з красивою тканини. Який товщини буде ця смуга, якщо відомо, що у Боба є 10 м² тканини.

Нехай смуга буде мати товщину x м, тоді площа тканини по довгій стороні ковдри складе (5 + 2 * x) * x, а оскільки довгих сторін 2, то маємо: 2 * x * (5 + 2 * x). По короткій стороні площа пришитою тканини складе 4 * x, так як цих сторін 2, то отримуємо значення 8 * x. Відзначимо, що до довгій стороні було додано значення 2 * x, оскільки довжина ковдри збільшилася на це число. Загальна пришита до ковдри площа тканини дорівнює 10 м². Тому отримуємо рівність: 2 * x * (5 + 2 * x) + 8 * x = 10 => 4 * x² + 18 * x-10 = 0.

Для цього прикладу дискриминант дорівнює: D = 18²-4 * 4 * (- 10) = 484. Його корінь дорівнює 22. Скориставшись формулою, знаходимо шукані корені: x = (-18 ± 22) / (2 * 4) = (- 5; 0,5). Очевидно, що з двох коренів підходить по умові завдання тільки число 0,5.

Таким чином, смуга з тканини, яку пришиє Боб до свого ковдрі, матиме ширину 50 см.

Продовжуємо вивчення теми « рішення рівнянь». Ми вже познайомилися з лінійними рівняннями і переходимо до знайомства з квадратними рівняннями.

Спочатку ми розберемо, що таке квадратне рівняння, як воно записується в загальному вигляді, і дамо пов'язані визначення. Після цього на прикладах детально розберемо, як вирішуються неповні квадратні рівняння. Далі перейдемо до вирішення повних рівнянь, отримаємо формулу коренів, познайомимося з дискримінантом квадратного рівняння і розглянемо рішення характерних прикладів. Нарешті, простежимо зв'язку між країнами і коефіцієнтами.

Навігація по сторінці.

Що таке квадратне рівняння? їх види

Для початку треба чітко розуміти, що таке квадратне рівняння. Тому розмова про квадратних рівняннях логічно почати з визначення квадратного рівняння, а також пов'язаних з ним термінів. Після цього можна розглянути основні види квадратних рівнянь: наведені і неприведення, а також повні і неповні рівняння.

Визначення і приклади квадратних рівнянь

Визначення.

Квадратне рівняння- це рівняння виду a · x 2 + b · x + c = 0, Де x - змінна, a, b і c - деякі числа, причому a відмінно від нуля.

Відразу скажемо, що квадратні рівняння часто називають рівняннями другого ступеня. Це пов'язано з тим, що квадратне рівняння є алгебраїчним рівняннямдругого ступеня.

Озвучене визначення дозволяє привести приклади квадратних рівнянь. Так 2 · x 2 + 6 · x + 1 = 0, 0,2 · x 2 + 2,5 · x + 0,03 = 0 і т.п. - це квадратні рівняння.

Визначення.

числа a, b і c називають коефіцієнтами квадратного рівняння a · x 2 + b · x + c = 0, причому коефіцієнт a називають першим, або старшим, або коефіцієнтом при x 2, b - другим коефіцієнтом, або коефіцієнтом при x, а c - вільним членом.

Для прикладу візьмемо квадратне рівняння виду 5 · x 2 -2 · x-3 = 0, тут старший коефіцієнт є 5, другий коефіцієнт дорівнює -2, а вільний член дорівнює -3. Зверніть увагу, коли коефіцієнти b і / або c негативні, як в тільки що наведеному прикладі, то використовується коротка форма запису квадратного рівняння виду 5 · x 2 -2 · x-3 = 0, а не 5 · x 2 + (- 2 ) · x + (- 3) = 0.

Варто зазначити, що коли коефіцієнти a і / або b рівні 1 або -1, то вони в запису квадратного рівняння зазвичай не присутні явно, що пов'язано з особливостями записи таких. Наприклад, в квадратному рівнянні y 2 -y + 3 = 0 старший коефіцієнт є одиниця, а коефіцієнт при y дорівнює -1.

Наведені та неприведення квадратні рівняння

Залежно від значення старшого коефіцієнта розрізняють наведені і неприведення квадратні рівняння. Дамо відповідні визначення.

Визначення.

Квадратне рівняння, в якому старший коефіцієнт дорівнює 1, називають наведеним квадратним рівнянням. В іншому випадку квадратне рівняння є неприведення.

Згідно з цим визначенням, квадратні рівняння x 2 -3 · x + 1 = 0, x 2 -x-2/3 = 0 і т.п. - наведені, в кожному з них перший коефіцієнт дорівнює одиниці. А 5 · x 2 -x-1 = 0, і т.п. - неприведення квадратні рівняння, їх старші коефіцієнти відмінні від 1.

Від будь-якого неприведення квадратного рівняння за допомогою ділення його обох частин на старший коефіцієнт можна перейти до наведеного. Ця дія є рівносильним перетворенням, тобто, отримане таким способом наведене квадратне рівняння має те ж коріння, що і вихідне неприведення квадратне рівняння, або, так само як воно, не має коренів.

Розберемо на прикладі, як виконується перехід від неприведення квадратного рівняння до наведеного.

Приклад.

Від рівняння 3 · x 2 + 12 · x-7 = 0 перейдіть до відповідного наведеним квадратного рівняння.

Рішення.

Нам досить виконати поділ обох частин вихідного рівняння на старший коефіцієнт 3, він відмінний від нуля, тому ми можемо виконати цю дію. Маємо (3 · x 2 + 12 · x-7): 3 = 0: 3, що те ж саме, (3 · x 2): 3+ (12 · x): 3-7: 3 = 0, і далі (3: 3) · x 2 + (12: 3) · x-7: 3 = 0, звідки. Так ми отримали наведене квадратне рівняння, рівносильне вихідному.

відповідь:

Повні і неповні квадратні рівняння

У визначенні квадратного рівняння присутній умова a ≠ 0. Ця умова потрібно для того, щоб рівняння a · x 2 + b · x + c = 0 було саме квадратним, так як при a = 0 воно фактично стає лінійним рівнянням виду b · x + c = 0.

Що стосується коефіцієнтів b і c, то вони можуть бути рівні нулю, причому як окремо, так і разом. У цих випадках квадратне рівняння називають неповним.

Визначення.

Квадратне рівняння a · x 2 + b · x + c = 0 називають неповним, Якщо хоча б один з коефіцієнтів b, c дорівнює нулю.

В свою чергу

Визначення.

Повний квадратне рівняння- це рівняння, у якого всі коефіцієнти відмінні від нуля.

Такі назви дано не випадково. З таких міркувань це стане зрозуміло.

Якщо коефіцієнт b дорівнює нулю, то квадратне рівняння набирає вигляду a · x 2 + 0 · x + c = 0, і воно рівносильне рівнянню a · x 2 + c = 0. Якщо c = 0, тобто, квадратне рівняння має вигляд a · x 2 + b · x + 0 = 0, то його можна переписати як a · x 2 + b · x = 0. А при b = 0 і c = 0 ми отримаємо квадратне рівняння a · x 2 = 0. Отримані рівняння відрізняються від повного квадратного рівняння тим, що їх ліві частини не містять або доданка зі змінною x, або вільного члена, або і того і іншого. Звідси і їх назва - неповні квадратні рівняння.

Так рівняння x 2 + x + 1 = 0 і -2 · x 2 -5 · x + 0,2 = 0 - це приклади повних квадратних рівнянь, а x 2 = 0, -2 · x 2 = 0, 5 · x 2 + 3 = 0, -x 2 -5 · x = 0 - це неповні квадратні рівняння.

Рішення неповних квадратних рівнянь

З інформації попереднього пункту випливає, що існує три види неповних квадратних рівнянь:

• a · x 2 = 0, йому відповідають коефіцієнти b = 0 і c = 0;
• a · x 2 + c = 0, коли b = 0;
• і a · x 2 + b · x = 0, коли c = 0.

Розберемо по порядку, як вирішуються неповні квадратні рівняння кожного з цих видів.

a · x 2 = 0

Почнемо з рішення неповних квадратних рівнянь, в яких коефіцієнти b і c дорівнюють нулю, тобто, з рівнянь виду a · x 2 = 0. Рівняння a · x 2 = 0 рівносильне рівняння x 2 = 0, яке виходить з вихідного розподілом його обох частин на відмінне від нуля число a. Очевидно, коренем рівняння x 2 = 0 є нуль, так як 0 2 = 0. Інших коренів це рівняння не має, що пояснюється, дійсно, для будь-якого відмінного від нуля числа p має місце нерівність p 2> 0, звідки випливає, що при p ≠ 0 рівність p 2 = 0 ніколи не досягається.

Отже, неповне квадратне рівняння a · x 2 = 0 має єдиний корінь x = 0.

Як приклад наведемо рішення неповного квадратного рівняння -4 · x 2 = 0. Йому рівносильно рівняння x 2 = 0, його єдиним коренем є x = 0, отже, і вихідне рівняння має єдиний корінь нуль.

Короткий рішення в цьому випадку можна оформити наступним чином:
-4 · x 2 = 0,
x 2 = 0,
x = 0.

a · x 2 + c = 0

Тепер розглянемо, як вирішуються неповні квадратні рівняння, в яких коефіцієнт b дорівнює нулю, а c ≠ 0, тобто, рівняння виду a · x 2 + c = 0. Ми знаємо, що перенесення доданка з однієї частини рівняння в іншу з протилежним знаком, а також розподіл обох частин рівняння на відмінне від нуля число дають рівносильне рівняння. Тому можна провести наступні рівносильні перетворення неповного квадратного рівняння a · x 2 + c = 0:

• перенести c в праву частину, що дає рівняння a · x 2 = -c,
• і розділити обидві його частини на a, одержуємо.

Отримане рівняння дозволяє зробити висновки про його коріння. Залежно від значень a і c значення виразу може бути негативним (наприклад, якщо a = 1 і c = 2, то) або позитивним, (наприклад, якщо a = -2 і c = 6, то), вона не дорівнює нулю , так як за умовою c ≠ 0. Окремо розберемо випадки і.

Якщо, то рівняння не має коренів. Це твердження випливає з того, що квадрат будь-якого числа є число невід'ємне. З цього випливає, що коли, то ні для якого числа p рівність не може бути вірним.

Якщо, то справа з корінням рівняння інакша. В цьому випадку, якщо згадати про, то відразу стає очевидним корінь рівняння, їм є число, так як. Нескладно здогадатися, що і число теж є коренем рівняння, дійсно,. Інших коренів це рівняння не має, що можна показати, наприклад, методом від противного. Зробимо це.

Позначимо тільки що озвучені коріння рівняння як x 1 і -x 1. Припустимо, що рівняння має ще один корінь x 2, відмінний від зазначених коренів x 1 і -x 1. Відомо, що підстановка в рівняння замість x його коренів звертає рівняння в правильну числову рівність. Для x 1 і -x 1 маємо, а для x 2 маємо. Властивості числових рівностей нам дозволяють виконувати почленное віднімання вірних числових рівностей, так віднімання відповідних частин рівності і дає x 1 2 -x 2 + 2 = 0. Властивості дій з числами дозволяють переписати отримане рівність як (x 1 -x 2) · (x 1 + x 2) = 0. Ми знаємо, що твір двох чисел дорівнює нулю тоді і тільки тоді, коли хоча б одне з них дорівнює нулю. Отже, з отриманого рівності випливає, що x 1 -x 2 = 0 і / або x 1 + x 2 = 0, що те ж саме, x 2 = x 1 і / або x 2 = -x 1. Так ми прийшли до протиріччя, так як спочатку ми сказали, що корінь рівняння x 2 відмінний від x 1 і -x 1. Цим доведено, що рівняння не має інших коренів, крім і.

Узагальнимо інформацію цього пункту. Неповне квадратне рівняння a · x 2 + c = 0 рівносильне рівнянню, яке

• не має коренів, якщо,
• має два кореня і, якщо.

Розглянемо приклади розв'язання неповних квадратних рівнянь виду a · x 2 + c = 0.

Почнемо з квадратного рівняння 9 · x 2 + 7 = 0. Після перенесення вільного члена в праву частину рівняння, воно набуде вигляду 9 · x 2 = -7. Розділивши обидві частини отриманого рівняння на 9, прийдемо до. Так як в правій частині вийшло від'ємне число, то це рівняння не має коренів, отже, і вихідне неповне квадратне рівняння 9 · x 2 + 7 = 0 не має коренів.

Вирішимо ще одне неповне квадратне рівняння -x 2 + 9 = 0. Переносимо дев'ятку в праву частину: -x 2 = -9. Тепер ділимо обидві частини на -1, отримуємо x 2 = 9. У правій частині знаходиться позитивне число, звідки робимо висновок, що або. Після записуємо остаточну відповідь: неповне квадратне рівняння -x 2 + 9 = 0 має два корені x = 3 або x = -3.

a · x 2 + b · x = 0

Залишилося розібратися з рішенням останнього виду неповних квадратних рівнянь при c = 0. Неповні квадратні рівняння виду a · x 2 + b · x = 0 дозволяє вирішити метод розкладання на множники. Очевидно, ми можемо, що знаходиться в лівій частині рівняння, для чого достатньо винести за дужки загальний множник x. Це дозволяє перейти від вихідного неповного квадратного рівняння до рівносильному рівняння виду x · (a · x + b) = 0. А це рівняння рівносильне сукупності двох рівнянь x = 0 і a · x + b = 0, останнє з яких є лінійним і має корінь x = -b / a.

Отже, неповне квадратне рівняння a · x 2 + b · x = 0 має два корені x = 0 і x = -b / a.

Для закріплення матеріалу розберемо рішення конкретного прикладу.

Приклад.

Розв'яжіть рівняння.

Рішення.

Виносимо x за дужки, це дає рівняння. Воно рівносильно двом рівнянням x = 0 і. Вирішуємо отримане лінійне рівняння:, і виконавши розподіл змішаного числа на звичайну дріб, знаходимо. Отже, корінням вихідного рівняння є x = 0 і.

Після отримання необхідної практики, рішення подібних рівнянь можна записувати коротко:

відповідь:

x = 0,.

Дискримінант, формула коренів квадратного рівняння

Для вирішення квадратних рівнянь існують формула коренів. запишемо формулу коренів квадратного рівняння:, Де D = b 2 -4 · a · c- так званий дискриминант квадратного рівняння. Запис по суті означає, що.

Корисно знати, як була отримана формула коренів, і як вона застосовується при знаходженні коренів квадратних рівнянь. Розберемося з цим.

Висновок формули коренів квадратного рівняння

Нехай нам потрібно вирішити квадратне рівняння a · x 2 + b · x + c = 0. Виконаємо деякі рівносильні перетворення:

• Обидві частини цього рівняння ми можемо розділити на відмінне від нуля число a, в результаті отримаємо наведене квадратне рівняння.
• тепер виділимо повний квадратв його лівій частині:. Після цього рівняння набуде вигляду.
• На цьому етапі можна здійснити перенесення двох останніх доданків в праву частину з протилежним знаком, маємо.
• І ще перетворимо вираз, що виявилося в правій частині:.

У підсумку ми приходимо до рівняння, яке рівносильне вихідному квадратного рівняння a · x 2 + b · x + c = 0.

Аналогічні за формою рівняння ми вже вирішували в попередніх пунктах, коли розбирали. Це дозволяє зробити наступні висновки, що стосуються коренів рівняння:

• якщо, то рівняння не має дійсних рішень;
• якщо, то рівняння має вигляд, отже,, звідки видно його єдиний корінь;
• якщо, то або, що те ж саме або, тобто, рівняння має два кореня.

Таким чином, наявність або відсутність коренів рівняння, а значить і вихідного квадратного рівняння, залежить від знака виразу, що стоїть в правій частині. У свою чергу знак цього виразу визначається знаком чисельника, так як знаменник 4 · a 2 завжди позитивний, тобто, знаком виразу b 2 -4 · a · c. Цей вислів b 2 -4 · a · c, назвали дискримінантом квадратного рівнянняі позначили буквою D. Звідси зрозуміла суть дискримінанту - по його значенню і знаку роблять висновок, чи має квадратне рівняння дійсні корені, і якщо має, то яке їх кількість - один або два.

Повертаємося до рівняння, перепишемо його з використанням позначення дискримінанту:. І робимо висновки:

• якщо D<0 , то это уравнение не имеет действительных корней;
• якщо D = 0, то це рівняння має єдиний корінь;
• нарешті, якщо D> 0, то рівняння має два кореня або, які в силу можна переписати у вигляді або, а після розкриття і приведення дробів до спільного знаменника отримуємо.

Так ми вивели формули коренів квадратного рівняння, вони мають вигляд, де дискриминант D обчислюється за формулою D = b 2 -4 · a · c.

З їх допомогою при позитивному дискримінант можна обчислити обидва дійсних кореня квадратного рівняння. При рівному нулю дискримінант обидві формули дають одне і те ж значення кореня, відповідне єдиного рішення квадратного рівняння. А при негативному дискримінант при спробі скористатися формулою коренів квадратного рівняння ми стикаємося з витяганням квадратного кореня з негативного числа, що виводить нас за рамки і шкільної програми. При негативному дискримінант квадратне рівняння не має дійсних коренів, але має пару комплексно сполученихкоренів, які можна знайти за тим же отриманим нами формулами коренів.

Алгоритм розв'язання квадратних рівнянь за формулами коренів

На практиці при вирішенні квадратних рівняння можна відразу використовувати формулу коренів, за допомогою якої обчислити їх значення. Але це більше ставитися до знаходження комплексних коренів.

Однак в шкільному курсі алгебри зазвичай мова йде не про комплексних, а про справжні корінні квадратного рівняння. У цьому випадку доцільно перед використанням формул коренів квадратного рівняння попередньо знайти дискримінант, переконатися, що він ненегативний (в іншому випадку можна робити висновок, що рівняння не має дійсних коренів), і вже після цього обчислювати значення коренів.

Наведені міркування дозволяють записати алгоритм вирішення квадратного рівняння. Щоб вирішити квадратне рівняння a · x 2 + b · x + c = 0, треба:

• за формулою дискримінанту D = b 2 -4 · a · c обчислити його значення;
• зробити висновок, що квадратне рівняння не має дійсних коренів, якщо дискримінант від'ємний;
• обчислити єдиний корінь рівняння за формулою, якщо D = 0;
• знайти два дійсних кореня квадратного рівняння за формулою коренів, якщо дискримінант позитивний.

Тут лише зауважимо, що при рівному нулю дискримінант можна використовувати і формулу, вона дасть той же значення, що і.

Можна переходити до прикладів застосування алгоритму рішення квадратних рівнянь.

Приклади розв'язання квадратних рівнянь

Розглянемо рішення трьох квадратних рівнянь з позитивним, негативним і рівним нулю дискримінантом. Розібравшись з їх рішенням, за аналогією можна буде вирішити будь-яке інше квадратне рівняння. Почнемо.

Приклад.

Знайдіть корені рівняння x 2 + 2 · x-6 = 0.

Рішення.

У цьому випадку маємо наступні коефіцієнти квадратного рівняння: a = 1, b = 2 і c = -6. Відповідно до алгоритму, спочатку треба обчислити дискримінант, для цього підставляємо зазначені a, b і c в формулу дискримінанту, маємо D = b 2 -4 · a · c = 2 2 -4 · 1 · (-6) = 4 + 24 = 28. Так як 28> 0, тобто, дискриминант більше нуля, то квадратне рівняння має два дійсних кореня. Знайдемо їх по формулі коренів, отримуємо, тут можна спростити отримані вирази, виконавши винесення множника за знак кореняз подальшим скороченням дробу:

відповідь:

Переходимо до наступного характерному наприклад.

Приклад.

Вирішіть квадратне рівняння -4 · x 2 + 28 · x-49 = 0.

Рішення.

Починаємо з знаходження дискримінанту: D = 28 2 -4 · (-4) · (-49) = 784-784 = 0. Отже, це квадратне рівняння має єдиний корінь, який знаходимо як, тобто,

відповідь:

x = 3,5.

Залишається розглянути рішення квадратних рівнянь з від'ємним дискримінантом.

Приклад.

Розв'яжіть рівняння 5 · y 2 + 6 · y + 2 = 0.

Рішення.

Тут такі коефіцієнти квадратного рівняння: a = 5, b = 6 і c = 2. Підставляємо ці значення в формулу дискримінанту, маємо D = b 2 -4 · a · c = 6 2 -4 · 5 · 2 = 36-40 = -4. Дискримінант негативний, отже, дане квадратне рівняння не має дійсних коренів.

Якщо ж буде потрібно вказати комплексні коріння, то застосовуємо відому формулу коренів квадратного рівняння, і виконуємо дії з комплексними числами:

відповідь:

дійсних коренів немає, комплексні коріння такі:.

Ще раз відзначимо, що якщо дискримінант квадратного рівняння негативний, то в школі зазвичай відразу записують відповідь, в якому вказують, що дійсних коренів немає, і не знаходять комплексні корені.

Формула коренів для парних друге коефіцієнтів

Формула коренів квадратного рівняння, де D = b 2 -4 · a · c дозволяє отримати формулу більш компактного вигляду, що дозволяє вирішувати квадратні рівняння з парних коефіцієнтом при x (або просто з коефіцієнтом, що має вигляд 2 · n, наприклад,, або 14 · ln5 = 2 · 7 · ln5). Виведемо її.

Припустимо нам потрібно вирішити квадратне рівняння виду a · x 2 + 2 · n · x + c = 0. Знайдемо його коріння з використанням відомої нам формули. Для цього обчислюємо дискриминант D = (2 · n) 2 -4 · a · c = 4 · n 2 -4 · a · c = 4 · (n 2 -a · c), І далі використовуємо формулу коренів:

Позначимо вираз n 2 -a · c як D 1 (іноді його позначають D "). Тоді формула коренів розглянутого квадратного рівняння з другим коефіцієнтом 2 · n набуде вигляду , Де D 1 = n 2 -a · c.

Нескладно помітити, що D = 4 · D 1, або D 1 = D / 4. Іншими словами, D 1 - це четверта частина дискримінанту. Зрозуміло, що знак D 1 такий же, як знак D. Тобто, знак D 1 також є індикатором наявності або відсутності коренів квадратного рівняння.

Отже, щоб вирішити квадратне рівняння з другим коефіцієнтом 2 · n, треба

• Обчислити D 1 = n 2 -a · c;
• Якщо D 1<0 , то сделать вывод, что действительных корней нет;
• Якщо D 1 = 0, то обчислити єдиний корінь рівняння за формулою;
• Якщо ж D 1> 0, то знайти два дійсних кореня за формулою.

Розглянемо рішення прикладу з використанням отриманої в цьому пункті формули коренів.

Приклад.

Вирішіть квадратне рівняння 5 · x 2 -6 · x-32 = 0.

Рішення.

Другий коефіцієнт цього рівняння можна представити у вигляді 2 · (-3). Тобто, можна переписати вихідне квадратне рівняння у вигляді 5 · x 2 + 2 · (-3) · x-32 = 0, тут a = 5, n = -3 і c = -32, і обчислити четверту частину дискримінанту: D 1 = n 2 -a · c = (- 3) 2 -5 · (-32) = 9 + 160 = 169. Так як його значення позитивно, то рівняння має два дійсних кореня. Знайдемо їх, використовуючи відповідну формулу коренів:

Зауважимо, що можна було використовувати звичайну формулу коренів квадратного рівняння, але в цьому випадку довелося б виконати більший обсяг обчислювальної роботи.

відповідь:

Спрощення виду квадратних рівнянь

Часом, перш ніж пускатися в обчислення коренів квадратного рівняння за формулами, не завадить запитати себе: «А чи не можна спростити вид цього рівняння»? Погодьтеся, що в плані обчислень простіше буде вирішити квадратне рівняння 11 · x 2 -4 · x-6 = 0, ніж 1100 · x 2 -400 · x-600 = 0.

Зазвичай спрощення виду квадратного рівняння досягається шляхом множення або ділення його обох частин на деяке число. Наприклад, в попередньому абзаці вдалося досягти спрощення рівняння 1100 · x 2 -400 · x-600 = 0, розділивши обидві його частини на 100.

Подібне перетворення проводять з квадратними рівняннями, коефіцієнти якого не є. При цьому зазвичай ділять обидві частини рівняння на абсолютних величин його коефіцієнтів. Для прикладу візьмемо квадратне рівняння 12 · x 2 -42 · x + 48 = 0. абсолютних величин його коефіцієнтів: НСД (12, 42, 48) = НСД (НСД (12, 42), 48) = НСД (6, 48) = 6. Розділивши обидві частини вихідного квадратного рівняння на 6, ми прийдемо до рівносильному йому квадратного рівняння 2 · x 2 -7 · x + 8 = 0.

А множення обох частин квадратного рівняння зазвичай проводиться для позбавлення від дрібних коефіцієнтів. При цьому множення проводять на знаменників його коефіцієнтів. Наприклад, якщо обидві частини квадратного рівняння помножити на НОК (6, 3, 1) = 6, то воно прийме більш простий вигляд x 2 + 4 · x-18 = 0.

На закінчення цього пункту зауважимо, що майже завжди позбавляються від мінуса при старшому коефіцієнті квадратного рівняння, змінюючи знаки всіх членів, що відповідає множенню (або поділу) обох частин на -1. Наприклад, зазвичай від квадратного рівняння -2 · x 2 -3 · x + 7 = 0 переходять до вирішення 2 · x 2 + 3 · x-7 = 0.

Зв'язок між країнами і коефіцієнтами квадратного рівняння

Формула коренів квадратного рівняння висловлює коріння рівняння через його коефіцієнти. Відштовхуючись від формули коренів, можна отримати інші залежності між корінням і коефіцієнтами.

Найбільш відомі і застосовуються формули з теореми Вієта виду і. Зокрема, для наведеного квадратного рівняння сума коренів дорівнює другому коефіцієнту з протилежним знаком, а твір коренів - вільному члену. Наприклад, з вигляду квадратного рівняння 3 · x 2 -7 · x + 22 = 0 можна відразу сказати, що сума його коренів дорівнює 7/3, а твір коренів одно 22/3.

Використовуючи вже записані формули можна отримати і ряд інших зв'язків між країнами і коефіцієнтами квадратного рівняння. Наприклад, можна висловити суму квадратів коренів квадратного рівняння через його коефіцієнти:.

Список літератури.

• алгебра:навч. для 8 кл. загальноосвіт. установ / [Ю. Н. Макаричєв, Н. Г. Миндюк, К. І. Нешков, С. Б. Суворова]; під ред. С. А. Теляковского. - 16-е изд. - М.: Просвещение, 2008. - 271 с. : Ил. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Мордкович А. Г.Алгебра. 8 клас. У 2 ч. Ч. 1. Підручник для учнів загальноосвітніх установ / А. Г. Мордкович. - 11-е изд., Стер. - М .: Мнемозина, 2009. - 215 с .: іл. ISBN 978-5-346-01155-2.

Квадратні рівняння вивчають в 8 класі, тому нічого складного тут немає. Уміння вирішувати їх абсолютно необхідно.

Квадратне рівняння - це рівняння виду ax 2 + bx + c = 0, де коефіцієнти a, b і c - довільні числа, причому a ≠ 0.

Перш, ніж вивчати конкретні методи рішення, зауважимо, що всі квадратні рівняння можна умовно розділити на три класи:

1. Не мають коренів;
2. Мають рівно один корінь;
3. Мають два різних кореня.

В цьому полягає важлива відмінність квадратних рівнянь від лінійних, де корінь завжди існує і єдиний. Як визначити, скільки коренів має рівняння? Для цього існує чудова річ - дискриминант.

дискримінант

Нехай дано квадратне рівняння ax 2 + bx + c = 0. Тоді дискриминант - це просто число D = b 2 - 4ac.

Цю формулу треба знати напам'ять. Звідки вона береться - зараз неважливо. Важливо інше: по знаку дискримінанту можна визначити, скільки коренів має квадратне рівняння. А саме:

1. якщо D< 0, корней нет;
2. Якщо D = 0, тобто рівно один корінь;
3. Якщо D> 0, коренів буде два.

Зверніть увагу: дискриминант вказує на кількість коренів, а зовсім не на їх знаки, як чомусь багато хто вважає. Погляньте на приклади - і самі все зрозумієте:

Завдання. Скільки коренів мають квадратні рівняння:

1. x 2 - 8x + 12 = 0;
2. 5x 2 + 3x + 7 = 0;
3. x 2 - 6x + 9 = 0.

Випишемо коефіцієнти для першого рівняння і знайдемо дискримінант:
a = 1, b = -8, c = 12;
D = (-8) 2 - 4 · 1 · 12 = 64 - 48 = 16

Отже, дискриминант позитивний, тому рівняння має два різних кореня. Аналогічно розбираємо друге рівняння:
a = 5; b = 3; c = 7;
D = 3 2 - 4 · 5 · 7 = 9 - 140 = -131.

Дискримінант негативний, коренів немає. Залишилося останнє рівняння:
a = 1; b = -6; c = 9;
D = (-6) 2 - 4 · 1 · 9 = 36 - 36 = 0.

Дискримінант дорівнює нулю - корінь буде один.

Зверніть увагу, що для кожного рівняння були виписані коефіцієнти. Так, це довго, так, це нудно - зате ви не переплутати коефіцієнти і не допустите дурних помилок. Вибирайте самі: швидкість або якість.

До речі, якщо «набити руку», через деякий час вже не буде потрібно виписувати всі коефіцієнти. Такі операції ви будете виконувати в голові. Більшість людей починають робити так десь після 50-70 вирішених рівнянь - загалом, не так і багато.

Коріння квадратного рівняння

Тепер перейдемо, власне, до вирішення. Якщо дискримінант D> 0, коріння можна знайти за формулами:

Основна формула коренів квадратного рівняння

Коли D = 0, можна використовувати будь-яку з цих формул - вийде одне і те ж число, яке і буде відповіддю. Нарешті, якщо D< 0, корней нет — ничего считать не надо.

1. x 2 - 2x - 3 = 0;
2. 15 - 2x - x 2 = 0;
3. x 2 + 12x + 36 = 0.

Перше рівняння:
x 2 - 2x - 3 = 0 ⇒ a = 1; b = -2; c = -3;
D = (-2) 2 - 4 · 1 · (-3) = 16.

D> 0 ⇒ рівняння має два кореня. Знайдемо їх:

Друге рівняння:
15 - 2x - x 2 = 0 ⇒ a = -1; b = -2; c = 15;
D = (-2) 2 - 4 · (-1) · 15 = 64.

D> 0 ⇒ рівняння знову має два кореня. знайдемо їх

\ [\ Begin (align) & ((x) _ (1)) = \ frac (2 + \ sqrt (64)) (2 \ cdot \ left (-1 \ right)) = - 5; \\ & ((x) _ (2)) = \ frac (2 \ sqrt (64)) (2 \ cdot \ left (-1 \ right)) = 3. \\ \ end (align) \]

Нарешті, третє рівняння:
x 2 + 12x + 36 = 0 ⇒ a = 1; b = 12; c = 36;
D = 12 2 - 4 · 1 · 36 = 0.

D = 0 ⇒ рівняння має один корінь. Можна використовувати будь-яку формулу. Наприклад, першу:

Як видно з прикладів, все дуже просто. Якщо знати формули і вміти рахувати, проблем не буде. Найчастіше помилки виникають при підстановці в формулу негативних коефіцієнтів. Тут знову ж таки допоможе прийом, описаний вище: дивіться на формулу буквально, розписуйте кожен крок - і дуже скоро позбудетеся від помилок.

Неповні квадратні рівняння

Буває, що квадратне рівняння дещо відрізняється від того, що дано у визначенні. наприклад:

1. x 2 + 9x = 0;
2. x 2 - 16 = 0.

Нескладно помітити, що в цих рівняннях відсутня одна з складових. Такі квадратні рівняння вирішуються навіть легше, ніж стандартні: в них навіть не буде потрібно вважати дискримінант. Отже, введемо нове поняття:

Рівняння ax 2 + bx + c = 0 називається неповним квадратним рівнянням, якщо b = 0 або c = 0, тобто коефіцієнт при змінній x або вільний елемент дорівнює нулю.

Зрозуміло, можливий зовсім важкий випадок, коли обидва цих коефіцієнта дорівнюють нулю: b = c = 0. У цьому випадку рівняння приймає вид ax 2 = 0. Очевидно, таке рівняння має єдиний корінь: x = 0.

Розглянемо інші випадки. Нехай b = 0, тоді отримаємо неповне квадратне рівняння виду ax 2 + c = 0. Трохи перетворимо його:

Оскільки арифметичний квадратний корінь існує тільки з невід'ємного числа, остання рівність має сенс виключно при (-c / a) ≥ 0. Висновок:

1. Якщо в неповному квадратному рівнянні виду ax 2 + c = 0 виконано нерівність (-c / a) ≥ 0, коренів буде два. Формула дана вище;
2. Якщо ж (-c / a)< 0, корней нет.

Як бачите, дискриминант не поставила вимогу про - в неповних квадратних рівняннях взагалі немає складних обчислень. Насправді навіть необов'язково пам'ятати нерівність (-c / a) ≥ 0. Досить висловити величину x 2 і подивитися, що стоїть з іншого боку від знака рівності. Якщо там позитивне число - коренів буде два. Якщо негативне - коріння не буде взагалі.

Тепер розберемося з рівняннями виду ax 2 + bx = 0, в яких вільний елемент дорівнює нулю. Тут все просто: коренів завжди буде два. Досить розкласти многочлен на множники:

Винесення спільного множника за дужки

Добуток дорівнює нулю, коли хоча б один із множників дорівнює нулю. Звідси знаходяться корені. На закінчення розберемо кілька таких рівнянь:

Завдання. Вирішити квадратні рівняння:

1. x 2 - 7x = 0;
2. 5x 2 + 30 = 0;
3. 4x 2 - 9 = 0.

x 2 - 7x = 0 ⇒ x · (x - 7) = 0 ⇒ x 1 = 0; x 2 = - (- 7) / 1 = 7.

5x 2 + 30 = 0 ⇒ 5x 2 = -30 ⇒ x 2 = -6. Корній немає, тому що квадрат не може дорівнювати негативного числа.

4x 2 - 9 = 0 ⇒ 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1,5; x 2 = -1,5.

По-перше, що ж таке квадратне рівняння? Квадратним рівнянням називається рівняння виду ax ^ 2 + bx + c = 0, де х - змінна, a, b і з - деякі числа, причому а не дорівнює нулю.

2 крок

Щоб вирішити квадратне рівняння нам потрібно знати формулу його коренів, тобто, для початку, формулу дискримінанту квадратного рівняння. Виглядає вона наступним чином: D = b ^ 2-4ac. Можна вивести її самостійно, але зазвичай це не потрібно, просто запам'ятайте формулу (!) Вона буде вам дуже потрібна в подальшому. Так само є формула чверті дискримінанту, докладніше про неї трохи пізніше.

3 крок

Візьмемо як приклад рівняння 3x ^ 2-24x + 21 = 0. Я вирішу його двома способами.

4 крок

Спосіб 1. Дискримінант.
3x ^ 2-24x + 21 = 0
a = 3, b = -24, c = 21
D = b ^ 2-4ac
D = 576-4 * 63 = 576-252 = 324 = 18 ^ 2
D>
х1,2 = (-b 18) / 6 = 42/6 = 7
x2 = (- (- 24) -18) / 6 = 6/6 = 1

5 крок

Настав час згадати про формулу чверті дискримінанту, яка здатна здорово полегшити вирішення нашого рівняння =) А тепер оце як вона виглядає: D1 = k ^ 2-ac (k = 1 / 2b)
Спосіб 2. Чверть Дискримінант.
3x ^ 2-24x + 21 = 0
a = 3, b = -24, c = 21
k = -12
D1 = k ^ 2 - ac
D1 = 144-63 = 81 = 9 ^ 2
D1> 0, значить, рівняння має 2 корені
x1,2 = k + / квадратний корінь з D1) / a
x1 = (- (- 12) +9) / 3 = 21/3 = 7
x2 = (- (- 12) -9) / 3 = 3/3 = 1

Оцінили на скільки легше рішення ?;)
Дякую за увагу, бажаю Вам успіхів у навчанні =)

• У нашому випадку в рівняннях D і D1 були> 0 і ми отримали по 2 кореня. Якби було D = 0 і D1 = 0, то ми отримали б по одному кореню, а якби було D<0 и D1<0 соответственно, то у уравнений корней бы не было вовсе.
• Через корінь дискримінанту (D1) можна вирішувати тільки ті рівняння, в яких член b парний (!)